Introdução

In recent years, origami has attracted the attentions of scientists and mathemathicians, who have begun mapping the "laws of nature", that underlie origami, converting words, concepts and images into mathematical expressions.

— Robert J. Lang, Origami Design Secrets

A mais conhecida e tradicional forma de dobradura é o origami. Origami é o nome dado à secular arte de dobrar um pedaço de material, tipicamente uma folha de papel quadrada, em formas visuais ou esculturais que representam uma grande variedade de modelos tais como aviões, barcos, animais, flores, insetos, pessoas etc. A palavra origami vem do japonês; oru significa dobrar e kami significa papel.

Acredita-se que origami exista desde da criação do papel na China há cerca de 2000 anos. No entanto, no Japão, o mais antigo texto que faz uma clara menção a origami é um poema de Ihara Saikaku de 1670. Na Europa, um desenho de um barco na edição de 1490 de "Tractatus de Sphaera Mundi", escrito por Johannes de Sacrobosco, parece ser o de uma dobradura. Mais sobre a fascinante história do origami, origem da palavra e várias referências podem ser encontradas, por exemplo, nas páginas na Internet mantidas por Eric M. Andersen, Hatori Koshiro e David Mitchell.

Dobras vale e montanha

A construção de um modelo de origami envolve um processo de dobra que consiste na realização de uma seqüência de dobras. Essas dobras são do tipo vale ou montanha.

Por volta de 1950 o origamista Akira Yoshizawa utilizou uma notação para representar dobraduras que tornou-se padrão internacional. Esta notação consiste de símbolos gráficos e diagramas (crease patterns). Nestes diagramas uma dobra do tipo vale é representada através de uma linha tracejada enquanto que uma dobra do tipo montanha é representada através de uma linha com traços e pontos.

O diagrama de um modelo clássico de pássaro¹ mostra as linhas do vale e da montanha indicando o local e tipo das dobras no modelo; os vincos de referência, muito úteis aos origamistas durante o processo de dobra, não são indicados no diagrama. Um diagrama é uma representação retilínea de um grafo planar² onde cada aresta é representada por um segmento de reta e os segmentos de reta só se intersectam em pontos que correspondem a vértices do grafo.

Vê-se que o diagrama não deixa evidente qual foi o processo de dobra, ou seja, não deixa evidente a seqüência das dobras que foram realizadas a fim de obter-se o modelo do pássaro.

Origami e ciência

Segundo Robert J. Lang as relações entre origami e ciência ocorrem em vários níveis e incluem diversas áreas da ciência. Lang classifica essas relações em três categorias:

Origami matemático: abrange a matemática que descreve as leis que regem as dobras;
Origami computacional: consiste de algoritmos e da teoria devotada à solução de problemas que envolvem dobras; e
Origami tecnológico: trata das aplicações de dobras na solução de problemas que surgem em engenharia e na indústria.

Neste texto tratamos somente das duas primeiras categorias.

Origami matemático

Inicialmente, no próximo capítulo, tratamos do origami matemático. Neste capítulo são apresentadas as construções geométricas possíveis de serem feitas com um determinado "modelo computacional" em que dobras são as operações elementares. A capacidade desse modelo computacional de dobras é então comparada à capacidade do conhecido modelo de Euclides das construções com régua e compasso. Em particular, nesse capítulo vemos que com dobras podemos realizar construções que são impossíveis de serem feitas com régua e compasso, como, por exemplo, a trisseção de um ângulo.

Origami computacional

Em seguida, do capítulo 2 ao capítulo 5, este texto passa a considerar a segunda categoria de Lang, ou seja, origami computacional.

Origami computacional é um ramo recente da ciência da computação que estuda algoritmos eficientes para problemas envolvendo dobras. Este ramo, essencialmente, nasceu há quase 15 anos com o trabalho de Robert J. Lang em que métodos computacionais são empregados no auxílio do projeto de dobraduras. Desde o trabalho de Lang, origami computacional tem crescido muito, devido ao esforço de vários pesquisadores.

Segundo Erik D. Demaine e Martin L. Demaine, a maioria dos resultados em origami computacional podem ser classificados em três classes: algoritmos eficientes; resultados de intratabilidade; e resultados universais.

Algoritmos eficientes

São considerados algoritmos eficientes aqueles cujo consumo de tempo cresce polinomialmente com o "tamanho da entrada". Para alguns problemas de dobra o tamanho da entrada é o número de linhas de um dado diagrama. Por exemplo, existe um algoritmo eficiente para decidir se um mapa, ou seja, uma grade formada por linhas do vale e da montanha, pode ser dobrado por uma seqüência de dobras "simples". Isto é mostrado no capítulo 2.

Resultados de intratabilidade

Resultados de intratabilidade mostram que para certos problemas de dobras não há, ou não se acredita que haja, algoritmo eficiente para resolvê-lo. Um exemplo desse tipo de resultado pode ser visto no capítulo 3. Nesse capítulo é demonstrado que decidir se um dado diagrama pode ser dobrado de tal forma que o modelo final esteja totalmente contido em um plano é uma tarefa computacionalmente não-trivial. Mais precisamente, é demonstrado que esse problema é NP-completo. Intuitivamente, o fato desse problema ser NP-completo significa que à medida que o número de linhas do diagrama cresce, o problema torna-se rapidamente impraticável de ser resolvido por um computador em uma quantidade de tempo razoável. Isto também significa que não há algoritmo eficiente para o problema, a menos que alguns dos problemas computacionais reconhecidamente difíceis possam ser resolvidos eficientemente.

Nesse mesmo capítulo também são demonstrados teoremas de Jun Maekawa e Toshikazu Kawasaki que descrevem condições necessárias para que a dobradura de um dado diagrama esteja contida em um plano.

Resultados universais

São chamados de resultados universais aqueles em que, num determinado modelo computacional de dobra, tudo é possível. Por exemplo, todo pedaço de papel com um polígono desenhado sobre ele pode ser dobrado de maneira que com apenas um corte de tesoura através de uma linha reta o polígono é separado do restante do papel. Este é o tópico central dos três últimos capítulos deste texto, onde o método de Marshall Bern, Erik Demaine, David Eppstein e Barry Hayes é apresentado e uma implementação deste é descrita. A implementação do método está disponível em jorigami.sourceforge.net.

Este texto termina, no capítulo 6, com algumas observações e comentários.

Notas

Este é o conhecido flapping bird, não é o tradicional tsuru (traditional crane), que possui um par de dobras a mais. ↩
Um grafo é um objeto da forma (V, E), onde V é um conjunto finito de elementos, chamados vértices, e E é um conjunto de pares ordenados de elementos distintos de V, chamados arestas. ↩